勾股定理教案

勾股定理教案

课题：19.1勾股定理

教材：义务教育数学课程标准实验教科书——八年级下册（沪科版）

第十九章    勾股定理（第1课时）

授课教师：六安市裕安区青山学校   范钰

一 教学目标：

（一）知识与技能：掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问题。

（二）过程与方法：经历勾股定理的探索过程，体验数学学习探究的方法。经历观察、归纳、猜想、概括等数学学习活动过程，发展合情推理能力，体会从特殊到一般及数形结合的数学思想。

（三）情感态度与价值观：

进一步丰富数学学习的成功体验，认识到数学是解决实际问题的重要工具，初步形成积极参与数学活动的意识；通过追溯勾股定理的历史，增强学生的爱国情感。

二 教学重难点：

重点：勾股定理的发现过程及其简单应用

   难点：勾股定理的发现过程

三 教学方法与教学手段

本课运用“探究式”的教学方法，以学生为探索学习的主体，运用多媒体等手段充分激发学生学习动机，提高学生参与课堂学习的程度，鼓励学生积极思考并实现合作学习。

四、教具学具准备：

多媒体、四个全等的非等腰的直角三角形

五 教学过程：

（一）创设情境，引发思考

同学们，听说过毕达哥拉斯这个人吗？他是希腊数学家，有一天，他到朋友家做客，席间，高朋满座，开怀畅饮，而毕达哥拉斯却盯着朋友家的地砖发起呆来，原来他发现朋友家的地砖或黑或白，拼在一起，十分有趣，便动起了脑筋，主人见毕达哥拉斯眉头紧锁，便过来询问，谁知毕达哥拉斯突然蹦了起来，急匆匆冲进书房，画下一张草图。

问题1  同学们猜猜，毕达哥拉斯当时画下的神秘图案是什么呢？请你们仔细观察，动动脑筋，发挥想象力。

师生活动：学生观察，思考，回答。

设计意图：由毕达哥拉斯在朋友家做客的故事引入，激发学生的探究欲望。

（二）、观察思考，探究定理

探究活动1：毕达哥拉斯画下这个草图后，很快就发现图案中蕴含了一个极其重要的等量关系。大家一起找找看，你能发现吗？重要的等量关系！

问题2：既然S1、S2、S3在图中表示的是正方形面积，那么能不能用正方形面积公式把S1+S2=S3这个式子改写一下？

追问：a、c在图形中表示什么？

问题3：你能用等腰直角三角形的边长表示正方形的面积吗？猜想等腰直角三角形三边有怎样的关系？

师生活动  教师引导学生直接由正方形的面积等于边长的平方，归纳出：等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．

设计意图  从最特殊的直角三角形入手，通过观察正方形面积关系得到三边关系，对等腰直角三角形边长关系进行初步的一般化．

探究活动2：

这是行距，列距都是1的方格纸，仍利用形外正方形的面积，计算出S1，S2，S3，（a,b分别表示直角边，c为斜边），由师生共同填表

问题4  请数出图1中正方形S1、S2、S3的面积

问题5  S3如果数不出来，要怎样计算？（学生动笔画一画，同桌两人交流一下，看看有什么方法。）在非等腰直角三角形是否存在S1+S2=S3？

问题6  S1、S2、S3能不能用直角三角形边长表示呢？图1直角三角形具有怎样的三边特点？

问题7  图2的直角三角形是否也具有这样的三边关系？交给你们自己验证。

师生行为  师生共同完成探索。其中，S1，S2学生容易得出结果，S3的得出有一定难度。教师指导学生动笔画一画，同桌交流，利用“补”的方法得出S3。S3的得出，建立在处理好“求斜放正方形的面积”这一基础上。教师要让学生主动去探究、计算，猜想，找到解决问题的方法。

设计意图  在网格背景下通过观察和分析得出了一般的直角三角形的三边关系后，猜想直角三角形的三边关系是很容易的。

探究活动3 利用几何画板，探究脱离网格的直角三角形的三边关系。

问题8     现在你们能用自己的语言归纳出直角三角形三边关系吗？

师生行为：学生归纳，教师点评并板书“直角三角形两直角边的平方之和，等于斜边的平方。” 中国人称它为“勾股定理”，外国人称它为“毕达哥拉斯定理”．勾股定理指出了直角三角形具有两直角边的平方和等于斜边的平方，这样的数量关系，将形的特点与数量关系结合起来，体现了数形结合的思想。

设计意图：从网格验证到脱离网格，通过几何画板进行数学实验，得出直角三角形三边关系的一般结论。让学生经历观察、归纳、猜想、概括等数学学习活动过程，发展合情推理能力，体会从特殊到一般及数形结合的数学思想。

探究活动4  赵爽证明拼拼看

战国时期的数学家赵爽是拼图游戏高手，他利用拼图游戏，证明了勾股定理，四人一组拼拼看，看怎么怎么拼，就能拼出内含一个小正方形的大正方形。（提示：注意游戏规则，在拼的时候，要三角形之间不能重合，也不能有缝隙 。）

问题9   大正方形的面积怎么表示呢？

师生活动  学生4人一组，进行拼图游戏，并寻找证明方法。教师请学生上黑板展示学生的拼图结果。（如下图）

图3                                 图4

教师先引导学生判断拼出的图形是否符合要求，特别要判断中空部分是不是正方形。学生回答证明过程。然后教师再利用学生拼图（如图3），要求学生先独立思考然后小组交流大正方形面积的表示方法。学生回答用“补”的方法可得 _。。这个式子经过整理都可以得到 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．教师给予学生点评，并详细讲解教科书给出的证明方法。师生判断拼图展示结果（如图4）。教师介绍：2002年在我国召开的国际数学家大会的会场，国际数学家大会是全球性数学学术研究大会，被人们视为数学界的奥林匹克盛会，在我国召开也显示了我国雄厚的国力，会徽选用的就是这个图案。这个图案是公元3世纪三国时期的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，赵爽根据此图指出：四个全等的直角三角形（朱实）可以如图围成一个大正方形，中间部分是一个小正方形（黄实）．我们刚才证明使用的就是这个图形，教师介绍勾股定理相关史料，勾股定理的证明方法据说有400多种，有兴趣的同学可以搜集研究一下．

设计意图  通过拼图活动，调动学生思维的积极性，为学生提供从事数学活动的机会，发展学生的形象思维，使学生对定理的理解更加深刻，体会数学中数形结合的思想．通过对赵爽弦图的介绍，了解我国古代数学家对勾股定理的发现及证明所做出的贡献，增强民族自豪感，通过了解勾股定理的证明方法，增强学生学习数学的自信心．

（三）．初步应用，巩固新知

练习1

 在Rt△ABC中,∠C=90°,

(1)       已知: a=5, b=12,  求c;

(2)       已知: b=6,c=10 , 求a;

(3)       已知: a=7, c=25,  求b.

师生活动　学生计算，教师个别指导并检验．

【设计意图】通过运算，培养学生的运算能力并正确运用勾股定理解决直角三角形的边长问题．

练习2 蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘米？方格的边长为1厘米。

师生活动　学生观察、思考、计算，教师检验．

设计意图  设计实际问题背景，提高学生分析问题和解决问题的能力．

 （四）归纳小结，反思提高

 师生共同回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：

（1）勾股定理总结的是什么数量关系？

（2）勾股定理体现了什么数学思想？

 【设计意图】让学生从不同角度谈本节课学习的主要内容，在学习过程中感受到中国数学文化博大精深和数学的美，感悟数形结合的思想，增强对数学学习的自信．

（五）．布置作业

（1）教科书第57页第1题，第2题；

（2）通过互联网收集定理的多种证法．自主探究定理的证明

六、目标检测设计

 1．直角三角形的周长为12，斜边长为5，其面积为（     ）

   A．12      B．10      C．8      D．6

设计意图 勾股定理的简单计算，结合三角形的周长和面积知识进行求解．

 2．等边三角形的高是h，则它的面积是（     ）

    A．        B．        C．         D．

设计意图 勾股定理的应用和三角形的面积公式．

3．直角三角形 中， ， ，求 和 ．

设计意图 考查学生运用勾股定理的能力．